线性代数的本质 - 12克莱姆法则、几何解释

05 行列式、07 点积与对偶性、06 逆矩阵、列空间与零空间高斯消元比克莱姆计算得更快

• $det（A）= 0$降维，要么存在无数解要么没有解
• $det（A）\neq 0$维数依然相同，一个输入对应一个输出，一个输出也对应一个输入
• 对大多数线性变换来说，点积会随着变换而改变，不改变点积的矩阵变换是正交的变换，基向量在变换后依然保持单位长度且相互垂直
• 用正交矩阵求解线性系统非常简单，因为点积保持不变，所以已知的输出向量和矩阵的列向量的点积，分别等同于未知输入向量和各个基向量的点积
  \
• 对大多数线性方程组：
  
  这个解法就是克莱姆法则