线性代数的本质 - 03矩阵与线性变换

• 变换是在暗示以特定方式来可视化这一输入-输出关系，一种理解“向量的函数”的方法是使用运动。
• 线性代数限制在一种特殊类型的变换上，“线性变换”：一是直线在变换之后仍然保持为直线，不能有所弯曲；二是原点必须保持固定。总的来说，保持网格线平行并等距分布。
• 一个二维线性变换仅由四个数字完全确定，2X2矩阵，可以把列理解为两个特殊的向量，即$\vec{i}$和$\vec{j}$分别落脚的位置。如果有一个描述线性变换的2x2矩阵，以及一个给定向量，线性变换对这个向量的作用：只需取出向量的坐标，将它们分别与矩阵的特定列相乘，然后将结果相加即可。
  
  我们完全可以把矩阵的列看作变换后的基向量，把矩阵向量乘法看作一个线性组合。
• 如果变换后的$\vec{i}$和$\vec{j}$是线性相关的，意味着一个向量是另一个的倍数，那么这个线性变换将整个二维空间挤压到它们所在的一条直线上，也就是这两个线性相关向量所张成的一维空间。
• 每次当你看到一个矩阵时，你都可以把它解读为对空间的一种特定变换。